Question

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数f(x)=

3

2

-

2

2x+ 2

图象上任意两点，且x₁+x₂=1．
（Ⅰ）求y₁+y₂的值；
（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)（其中n∈N^*），求T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设an=

2

Tn

（n∈N^*），若不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞log_a（1-2a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数f(x)=

3

2

-

2

2x+ 2

图象上任意两点，且x₁+x₂=1．
y₁+y₂=

3

2

-

2

2x1+ 2

+

3

2

-

2

2x2+ 2

=3-(

2

2x1+ 2

+

2

2x2+ 2

)=3-

4+ 2 (2x1+2x2)

2x1+x2+ 2 (2x1+2x2)+2

=3-

4+ 2 (2x1+2x2)

2+ 2 (2x1+2x2)+2

=2．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=2，
由Tn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)得，Tn=f(

n

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)+f(0)，
∴2Tn=[f(0)+f(

n

n

)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(

n

n

)+f(0)]=2(n+1)，
∴T_n=n+1．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=

2

Tn

=

2

n+1

，不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞log_a（1-2a）即为

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞loga(1-2a)，
设H_n=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
则 H_n+1=

2

n+2

+

2

n+3

+…+

2

2n

+

2

2n+1

+

2

2n+2

，
∴Hn+1-Hn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
∴数列{H_n}是单调递增数列，
∴（H_n）_min=T₁=1，（10分）
要使不等式恒成立，只需log_a（1-2a）＜1，
即log_a（1-2a）＜log_aa，
∴

0＜a＜1 1-2a＞0 1-2a＞a

或

a＞1 1-2a＞0 1-2a＜a

解得0＜a＜

1

3

．
故使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0，

1

3

)．（12分）