Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值.

Answer 1

【探究】  (1)设点P、Q的坐标为(x₁,y₁)、(x₂,y₂).

由OP⊥OQ得      k_OP·k_OQ=-1

即.x₁x₂+y₁y₂=0.                          ①

又(x₁,y₂)，(x₂,y₂)是方程组的实数解即x₁、x₂是方程5x²+10x+4m-27=0的两个根.                                          ②

∴ x₁+x₂=-2,x₁x₂=.                           ③

∵ P、Q在直线x+2y-3=0上，

∴ y₁y₂=(3-x₁)·(3-x₂)=［9-3(x₁+x₂)+x₁x₂］.

将③代入，得    y₁y₂=.                       ④

将③④代入①，解得m=3，代入方程②，检验Δ＞0成立，∴m=3.

(2)由直线方程可得3=x+2y，代入圆的方程x²+y²+x-6y+m=0，有x²+y²+(x+2y)(x-6y)+ (x+2y)²=0，整理得

(12+m)x²+4(m-3)xy+(4m-27)y²=0.

由于x≠0，故可得(4m-27)()²+4(m-3)+12+m=0.

∴ k_OP,k_OQ是上述方程两根.

由k_OP·k_OQ=-1，得，解得m=3.

经检验可知m=3为所求.

【规律总结】 求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在.

(1)显示了一种解这类题的通法，(2)的关键在于依据直线方程构造出一个关于的二元齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种酣畅淋漓，一气呵成的感觉.