题目内容

已知f1（x）=|3x-1|，f2（x）=|a•3x-9|（a＞0），x∈R，且f(x)=
f1(x)     f1(x)≤f2(x)   
f2(x)     f1(x)＞f2(x)
．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在这样的a，使得当x∈[2，+∞）时，f（x）=f2（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）当a=1时，f2（x）=|3x-9|．
因为当x∈（0，log35）时，f1（x）=3x-1，f2（x）=9-3x，
且f1（x）-f2（x）=2•3x-10＜2•3log35-10=2•5-10=0，
所以当x∈（0，log35）时，f（x）=3x-1，且1∈（0，log35）（3分）
由于f'（x）=3xln3，所以k=f'（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切线方程为y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）

（Ⅱ）因为2≤a＜9，所以0＜log3
9
a
≤log3
9
2
，则
①当x≥log3
9
a
时，因为a•3x-9≥0，3x-1＞0，
所以由f2（x）-f1（x）=（a•3x-9）-（3x-1）=（a-1）3x-8≤0，解得x≤log3
8
a-1
，
从而当log3
9
a
≤x≤log3
8
a-1
时，f（x）=f2（x）（6分）
②当0≤x＜log3
9
a
时，因为a•3x-9＜0，3x-1≥0，
所以由f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（3x-1）=10-（a+1）3x≤0，解得x≥log3
10
a+1
，
从而当log3
10
a+1
≤x＜log3
9
a
时，f（x）=f2（x）（7分）
③当x＜0时，因为f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（1-3x）=8-（a-1）3x＞0，
从而f（x）=f2（x）一定不成立（8分）
综上得，当且仅当x∈[log3
10
a+1
，log3
8
a-1
]时，f（x）=f2（x），
故l=log3
8
a-1
-log3
10
a+1
=log3[
4
5
(1+
2
a-1
)]（9分）
从而当a=2时，l取得最大值为log3
12
5
（10分）

（Ⅲ）“当x∈[2，+∞）时，f（x）=f2（x）”
等价于“f2（x）≤f1（x）对x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3x-9|≤|3x-1|=3x-1（*）对x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①当a≥1时，log3
9
a
≤2，则当x≥2时，a•3x-9≥a•3log3
9
a
-9=0，
则（*）可化为a•3x-9≤3x-1，即a≤1+
8
3x
，而当x≥2时，1+
8
3x
＞1，
所以a≤1，从而a=1适合题意（12分）
②当0＜a＜1时，log3
9
a
＞2．
（1）当x＞log3
9
a
时，（*）可化为a•3x-9≤3x-1，即a≤1+
8
3x
，而1+
8
3x
＞1，
所以a≤1，此时要求0＜a＜1（（13分）
（2）当x=log3
9
a
时，（*）可化为0≤3x-1=
9
a
-1，
此时只要求0＜a＜9（14分）
（3）当2≤x＜log3
9
a
时，（*）可化为9-a•3x≤3x-1，即a≥
10
3x
-1，而
10
3x
-1≤
1
9
，
所以a≥
1
9
，此时要求
1
9
≤a＜1（15分）
由（1）（2）（3），得
1
9
≤a＜1符合题意要求．
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是
1
9
≤a≤1（16分）
练习册系列答案
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已知f1（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，fw（1）=1，且fmax（x）=fv（x）+xfne（x）．
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fn(x)(fn(x)+1)2
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已知⊙F1：(x+
3
)2+y2=16，F2(
3
，0)，在⊙F1上取点P，连接PF2，作出线段PF2的垂直平分线交PF1于M，当点P在⊙F1上运动时M形成曲线C．（如图）
（1）求曲线C的轨迹方程．
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3
2
，求直线l的方程．
（3）点Q在曲线C上，且满足∠F1QF2=
π
3
，求S△F1F2Q．
已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=
f1(x)    f1(x)≤f2(x) 
f2(x)    f1(x)＞f2(x) 

（1）若f（x）=f1（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；
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d
t
；
（3）设g（x）=x2-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．
已知f1（x）=log3x，f2(x)=(x+3)
1
2
+1，f3（x）=tanx，则f1[f2(f3(
π
4
))]=
1
1
．
已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=
f1(x)    f1(x)≤f2(x) 
f2(x)    f1(x)＞f2(x) 

（1）若f（x）=f1（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；
（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间[0，t]上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），求
d
t
；
（3）设g（x）=x2-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．

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