Question

【题目】已知是定义在上的奇函数，当时，（其中，是自然对数的底数，＝2.71828…）.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若时，方程有实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据函数为定义在上的奇函数，得，由此计算出的值；（Ⅱ）首先根据函数的奇偶性求得当时函数的解析式，然后求导分、讨论函数的单调性，并求得函数的极值点，由此求得实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ） 因为是定义在上的奇函数，

由得，即. 4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ），当时，.

当时，，.

由于是奇函数，则，

故当时，.6分

当时，，，

由，知，则当时，单调递减，

此时，即.8分

当时，，，由，得，

当时，，当时，，则在上单调递减；在上单调递增，则在处取得极小值，又，，故当时，.

综上，当时，，所以实数的取值范围是.12分