Question

（2009•日照一模）已知离心率为

4

5

的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2

34

．
（I）求椭圆及双曲线的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若

BM

=

MP

．求四边形ANBM的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程和双曲线方程，由椭圆的离心率是

4

5

，双曲线的焦距为2

34

联立方程组求出a和b的值，则椭圆及双曲线的方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的椭圆方程求出A和B的坐标，设出M点的坐标，由

BM

=

MP

得M为BP的中点，从而求出P点坐标，把M的坐标代入椭圆方程，把P的坐标代入双曲线方程，联立后求出M和P的具体值，然后把四边形ANBM的面积转化为三角形ANB的面积求解．

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
则根据题意，双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，且满足

a2-b2 a = 4 5 2 a2+b2 =2 34

，解方程组得

a2=25 b2=9

∴椭圆的方程为

x2

25

+

y2

9

=1，双曲线的方程

x2

25

-

y2

9

=1；
（Ⅱ）由（I）得A（-5，0），B（5，0），|AB|=10．
设M（x₀，y₀），则由

BM

=

MP

得M为BP的中点，所以P点坐标为（2x₀-5，2y₀），
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得

x02 25 + y02 9 =1 (2x0-5)2 25 - 4y02 9 =1

，
消去y₀，得2x02-5x0-25=0
解之得x0=-

5

2

或x₀=5（舍）
所以y0=

3 3

2

，由此可得M(-

5

2

，

3 3

2

)，
所以P(-10，3

3

)．
当P为(-10，3

3

)时，直线PA的方程是y=

3 3

-10+5

(x+5)
即y=-

3 3

5

(x+5)．
代入

x2

25

+

y2

9

=1，得2x²+15x+25=0
所以x=-

5

2

或-5（舍），
所以xN=-

5

2

，x_N=x_M，MN⊥x轴．
所以SANBM=2S△ANB=2×10×

3 3

2

×

1

2

=15

3

．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，直线与圆锥曲线问题的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．