Question

已知函数，其中.定义数列如下：，.

（I）当时，求的值；

（II）是否存在实数m，使构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数的值，若不存在，请说明理由；

（III）求证：当时，总能找到，使得.

Answer 1

（Ⅰ）1、2、5   （Ⅱ）存在

解析:

（Ｉ）因为，，所以，

，.   ………………4分

   （II）方法一：

假设存在实数，使得构成公差不为0的等差数列.

由（I）得到，，

.

因为成等差数列，

所以，                                      ………………6分

所以，，      

化简得，

解得（舍）,.                         ………………8分

经检验，此时的公差不为0，

所以存在，使构成公差不为0的等差数列.…………9分

方法二：

因为成等差数列，

所以，                               ………………6分

即，

所以，即.

因为，所以解得.   ………………8分

经检验，此时的公差不为0.

所以存在，使构成公差不为0的等差数列.   …………9分

  （III）因为,

又 ,  所以令.

由，

    ，

     ……

     ，

将上述不等式全部相加得，即，

因此只需取正整数，就有.