题目内容

如图，设椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的点，且 $数学公式$ • $数学公式$ =0；如果△PF₁F₂的面积为 $数学公式$ a²，那么该椭圆的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：利用 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，可知 $\text{[math]}$ ，结合椭圆的定义，及△PF₁F₂的面积，可求几何量之间的关系，从而可求离心率．
解答：由题意，∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，∴ $\text{[math]}$
设PF₁=m，PF₂=n
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题的考点是椭圆的简单性质，主要考查椭圆的定义，考查椭圆的离心率，关键是找出几何量之间的关系．

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已知椭圆E：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，其长轴长与短轴长的和等于6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A₁、A₂，P是椭圆上异于A₁、A₂的任意一点，直线PA₁、PA₂分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．

如图，设椭圆

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的点，且

=0；如果△PF₁F₂的面积为

a²，那么该椭圆的离心率为

（2012•泉州模拟）如图，设AB、A′B′分别是圆O：x²+y²=a²和椭圆C：

=1(a＞b＞0)的弦，端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号．
（Ⅰ）若椭圆C的短轴长为2，离心率为

，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若弦AB过定点M(0，

)，试探究弦A′B′是否也必过某个定点．

如图，以椭圆

（a＞b＞0）的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A。连结OA交小圆于点B，设直线BF是小圆的切线，
（1）证明c²=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明