Question

12．关于函数f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx，给出下列命题中正确的命题序号是①③
①对任意的x₁，x₂，当x₁-x₂=π时，f（x₁）=f（x₂）成立；
②f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是单调递增；
③函数f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）成中心对称；
④将函数f（x）的图象向左平移$\frac{5π}{12}$个单位后将与y=sin2x的图象重合．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：由于函数f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），它的周期为π，
故对任意的x₁，x₂，当x₁-x₂=π时，f（x₁）=f（x₂）成立，故①正确．
区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，π]，故函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单调递减，故②不正确；
当x=$\frac{π}{12}$时，f（x）=0，函数f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）成中心对称，故③正确；
将函数f（x）的图象向左平移$\frac{5π}{12}$个单位后，得到y=2cos[2（x+$\frac{5π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=2cos（2x+$\frac{7π}{6}$）
=-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
显然它的图象与y=sin2x的图象不重合，故④不正确，
故答案为：①③．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．