Question

3．下列命题中，真命题是（　　）

• A． ?x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，sin x₀+cos x₀≥2
• B． ?x∈（3，+∞），x²＞2x+1
• C． ?x₀∈R，x₀²+x₀=-1
• D． ?x∈（$\frac{π}{2}$，π），tan x＞sin x

Answer 1

分析 A、求出sinx+cosx的值域，即可做出判断；
B、求出不等式的解集，即可做出判断；
C、判断方程解的情况，即可做出判断；
D、观察两函数图象即可做出判断．

解答 解：A、sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴不存在x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得sinx₀+cosx₀≥2，错误；
B、不等式x²＞2x+1，整理得：x²-2x+1＞2，即（x-1）²＞2，
解得：x＜-1或x＞$\sqrt{2}$+1，
故?x∈（3，+∞），x²＞2x+1成立，正确；
C、方程x²+x=-1，整理得：x²+x+1=0，
∵△=1-4=-3＜0，∴此方程无解，
故不存在x₀∈R，使得x₀²+x₀=-1，错误；
D、?x∈（$\frac{π}{2}$，π），tanx＜sinx，错误，
故选：B．

点评 此题考查了命题的真假判断与应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．