Question

已知抛物线的焦点为，过任作直线(与轴不平行)交抛物线分别于两点，点关于轴对称点为，

（1）求证：直线与轴交点必为定点；
（2）过分别作抛物线的切线，两条切线交于，求的最小值，并求当取最小值时直线的方程.

Answer 1

（1）通过确定直线的方程，证明直线与轴交于定点.
（2）或.

解析试题分析：（1）通过确定直线的方程，证明直线与轴交于定点.
（2）应用导数的几何意义，确定过点及过点的切线方程并联立方程组，确定,，
进一步应用“弦长公式”及均值定理，建立的方程，确定得到，从而求得直线的方程为：或.
试题解析：设，∵抛物线的焦点为

∴可设直线的方程为：
，消去并整理得：
  4分
,
直线的方程为
∴直线与轴交于定点    7分
（2），∴过点的切线方程为：
即：③，同理可得过点的切线方程为：
④  9分
③—④得：()
∴
③+④得：
  12分
∴,

∴,取等号时，，
直线的方程为：或.  15分
考点：直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，均值定理的应用.