Question

【题目】已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明:；

（3）求证：对任意的，都有：，(其中为自然对数的底数)。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）分别在和两段范围内讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（2）将问题转化为证明，通过导数求得，从而证得所证不等式；（3）根据（2）可知，令，则可得，再通过进行放缩，证得，从而得到所证结论.

（1）函数的定义域为，

①当时，，所以在上单调递增

②当时，令，解得：

当时，， 所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增

（2）当时，

要证明，即证，即

设则，令得，

当时，，当时，

所以为极大值点，也为最大值点

所以，即

故

（3）由（2）（当且仅当时等号成立）

令， 则

所以

即

所以