Question

已知函数f（x）=x²+ax+1，f（x）在x∈[-3，1）上恒有f（x）≥-3成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：f（x）在x∈[-3，1）上恒有f（x）≥-3成立，转化为f（x）在x∈[-3，1）的最小值大于等于-3，
对参数a分类讨论，求出最小值，通过解关于a的不等式求解．

解答：解：由于f(x)=x2+ax+1=(x+

a

2

)2+1-

a2

4

（i）当-

a

2

＜-3即a＞6时，易知为x∈[-3，1）上的增函数，
则f(x)min=f(-3)=10-3a≥-3⇒a≤

13

3

，此时a无解；
（ii）当-3≤-

a

2

＜1即-2＜a≤6时，则f(x)min=f(-

a

2

)=1-

a2

4

≥-3⇒-4≤a≤4，此时-2＜a≤4；
（iii）当-

a

2

≥1即a≤-2时，易知f（x）为x∈[-3，1）上的减函数，
则f（x）_min=f（1）=2+a≥-3⇒a≥-5，此时-5≤a≤-2；
综上所述，a的取值范围{a|-5≤a≤4}．

点评：本题考查二次函数的图象与性质，考查数形结合、分类讨论的思想方法．