Question

已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F（1，0）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）求经过点A（4，0）且与椭圆C相切的直线方程；
（III）设P为椭圆C上一动点，以PF为直径的动圆内切于一个定圆E．求定圆E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆的离心率为，右焦点为F（1，0），求出a，c，利用b²=a²-c²，可求b的值，从而可求椭圆C的方程；
（II）设出经过点A（4，0）且与椭圆C相切的直线方程，代入椭圆方程，利用判别式为0，即可得到结论；
（III）利用椭圆的定义，可得以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切，从而可得结论．
解答：解：（I）∵椭圆的离心率为，右焦点为F（1，0）．
∴，c=1
∴a=2，b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程为；
（II）设经过点A（4，0）且与椭圆C相切的直线方程为y=k（x-4）
代入椭圆方程可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
∴△=（32k²）-4（3+4k²）（64k²-12）=0
∴
∴k=±
∴所求直线方程为y=（x-4）；
（III）利用椭圆的定义，可得以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切
设PF的中点为C，则OC==2-
∴以PF为直径的动圆内切于一个定圆E，圆心为（0，0），半径为半长轴长
∴定圆E的方程的方程为x²+y²=4．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．