Question

在直角坐标系中，动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍，记动点M的轨迹为W，过点A（a，0）（a＞0）作一条斜率为k（k＜0）的直线交曲线W于B，C两点，且交y轴于点D．
（1）求动点M的轨迹，并指出它的三条性质或特征；
（2）求证：|AB|=|CD|；
（3）若|BC|=|BD|，求△OAD的面积．（O为坐标原点）

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍，整理可得动点M的轨迹方程为为xy=1双曲线，再根据双曲线的性质写出其性质即可；
（2）直线方程为y=k（x-a），联立直线方程与双曲线方程整理求出BC中点以及AD的中点，只要中点坐标相同即可说明结论．
（3）先根据|BC|=|BD|，得到x₂=2x₁，结合上面的结论得到k和a之间的关系，再代入三角形的面积公式整理即可得到结论．
解答：解：（1）设M（x，y），
依题意有：．化简得xy=1．
即动点M的轨迹方程为xy=1双曲线，其性质为                            （4分）
（1）焦点（）（2）实轴长2（3）虚轴长2
（4）对称性y=±x，（0，0）（5）渐近线x=0，y=0等                 （8分）
（2）直线方程为y=k（x-a），由得
kx²-kax-1=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC中点为N（x，y），
．
又D（0，-ka）
∴．
由|AN|=|DN|，|BN|=|CN|，
可得|AB|=|CD|（14分）
（3）若|BC|=|BD|，可知x₁＜x₂，
则x₁=x₂-x₁，即x₂=2x₁，
，
．
又|OA|=a，|OD|=-ka，
∴S_△OCD=．（18分）
点评：本题主要考查轨迹方程的求法以及直线与圆锥曲线的位置关系．解决本题的关键在于根据动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍，整理得到动点M的轨迹方程．