Question

如图,已知底面是正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,底面边长为2,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点.

(1)求证:平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁;

(2)求点D₁到平面B₁EF的距离.

Answer 1

(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,,0),F(,2,0),D₁(0,0,4),B₁(2,2,4),

=(-,,0),=(2,2,0),=(0,0,4).

∴

∴EF⊥DB,EF⊥DD₁.∴EF⊥平面BDD₁B₁.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

(2)解:设平面B₁EF的法向量为n=(x,y,z),

则n⊥EF,n⊥EB₁.

又=(0,,4),

∴n·=-x+y=0,

n·=y+4z=0.

∴x=y,z=-y.

取y=1,得n=(1,1,-).

又,

∴点D₁到平面B₁EF的距离为