Question

已知函数f(x)=||sinx-

1

2

|-

1

2

|，x∈[-π，π]．
（1）求使得f（x）=0的x的值；
（2）描绘函数y=f（x）的大致图象；
（3）对于实数k，求使f（x）=k的x的个数．

Answer 1

分析：（1）先将f（x）=0转化为：|sinx-

1

2

|=

1

2

，即sinx=1或0，再根据x的取值范围求出x的值；
（2）先写出函数f（x）的解析式，再根据函数的解析式分段画出函数的图象即可；
（3）对k值进行分类讨论：当k＞1或k＜0时，x有0个；当k=1时，x有1个；当

1

2

＜k＜1时，x有2个；当k=

1

2

或0时，x有4个；当0＜k＜

1

2

时，x有6个即可．

解答：解：（1）f（x）=0即|sinx-

1

2

|=

1

2

，sinx=1或0，
又∵x∈[-π，π]，∴x∈{-π，0，

π

2

，π}…（3分）

（2）f(x)=

-sinx  &-π≤x＜0 sinx  & &0≤x＜ π 6 或 5π 6 ＜x≤π 1-sinx  & π 6 ≤x≤ 5π 6

…（9分）
（3）当k＞1或k＜0时，x有0个；
当k=1时，x有1个；
当

1

2

＜k＜1时，x有2个；
当k=

1

2

或0时，x有4个；
当0＜k＜

1

2

时，x有6个；                            …（14分）

点评：本小题主要考查正弦函数的定义域和值域、函数的图象、根的存在性及根的个数判断等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．