题目内容
19．某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足：①y与（a-x）和x2的乘积成正比；②x∈（0，$\frac{4a}{5}$]．若x=$\frac{a}{2}$时，y=a3．（Ⅰ）求产品增加值y关于x的表达式；
（Ⅱ）求产品增加值y的最大值及相应的x的值．
分析 （Ⅰ）根据条件设y=f（x）=k（a-x）x2，利用待定系数法即可求产品增加值y关于x的表达式；
（Ⅱ）求函数的导数，根据导数即可求产品增加值y的最大值及相应的x的值．
解答 解：（I）设y=f（x）=k（a-x）x2，
因为当x=$\frac{a}{2}$时，y=a3，所以k=8，
所以f（x）=8（a-x）x2，x∈（0，$\frac{4a}{5}$]．
（II）因为f′（x）=-24x2+16ax，令f′（x）=0，则x=0（舍），x=$\frac{2a}{3}$．
当x∈（0，$\frac{2a}{3}$）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，$\frac{2a}{3}$）上是增函数，
当x∈（$\frac{2a}{3}$，$\frac{4a}{5}$）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（$\frac{2a}{3}$，$\frac{4a}{5}$）上是减函数，
所以，当x=$\frac{2a}{3}$时，ymax=f（$\frac{2a}{3}$）=$\frac{32}{27}$a3；
答：（I）f（x）=8（a-x）x2，x∈（0，$\frac{4a}{5}$]；（II）投入$\frac{2a}{3}$万元，最大增加值$\frac{32}{27}$a3．
解法二：因为$x∈（{0，\frac{4}{5}a}]$，所以a-x＞0，
所以$f（x）=8（{a-x}）{x^2}=4（{2a-2x}）•x•x≤4×{（{\frac{2a-2x+x+x}{3}}）^3}=\frac{32}{27}{a^3}$
等号当且仅当2a-2x=x=x即x=$\frac{2a}{3}$时等号成立，
因为$\frac{2a}{3}$∈（0，$\frac{4a}{5}$]，所以当x=$\frac{2a}{3}$时，ymax=f（$\frac{2a}{3}$）=$\frac{32}{27}$a3
答：（I）f（x）=8（a-x）x2，x∈（0，$\frac{4a}{5}$]；（II）投入$\frac{2a}{3}$万元，最大增加值$\frac{32}{27}$a3．
点评 本题主要考查生活中的优化问题，利用待定系数法求出函数的解析式，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．
在扇形AOB中，圆心角等于$\frac{π}{3}$，半径为4，在弧AB上有一动点P（不与点AB重合），过点P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求三角形POC的面积的最大值及此时θ的值．| A． | $\frac{2}{7}$（8n-1） | B． | $\frac{2}{7}$（8n+1） | C． | $\frac{2}{7}$（8n+1-1） | D． | $\frac{2}{7}$（8n+1+1） |
| A． | y=tanx | B． | y=2x | C． | y=x3 | D． | y=lg（1+x2） |