Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2）
（1）若b_n=a_n+1，求证{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式及数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由条件构造数列{a_n+1}，然后利用等比数列的定义证明即可．
（2）利用b_n=a_n+1，可求数列{a_n}的通项公式及数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2）
∴a_n+1=2a_n-1+1+1=2（2a_n-1+1），
∵b_n=a_n+1，
∴b_n=2b_n-1，即{b_n}为等比数列，公比q=2，首项b₁=a₁+1=2．
（2）由（1）知{b_n}为等比数列，公比q=2，首项b₁=a₁+1=2．
∴b_n=a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1，n≥1．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=（2-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）=（2+2²+???+2ⁿ）-n=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-2-n．

点评：本题主要考查等比数列的定义和通项公式的求法，以及利用分组法进行求和，要求熟练掌握相应的技巧和方法．