题目内容
设函数f(x)=x(x-1)(x-a)(a＞1).(1)求导数f′(x),并证明f(x)有两个不同的极值点x1、x2;
(2)若不等式f(x1)+f(x2)≤0成立,求a的取值范围.
解:(1)f′(x)=3x2-2(1+a)x+a.
令f′(x)=0得方程3x2-2(1+a)x+a=0.
因Δ=4(a2-a+1)≥4a＞0,
故方程有两个不同实根x1、x2.
不妨设x1＜x2,由f′(x)=3(x-x1)(x-x2)可判断f′(x)的符号如下:
当x＜x1时,f′(x)＞0;
当x1＜x＜x2时,f′(x)＜0;
当x＞x2时,f′(x)＞0.
因此x1是极大值点,x2是极小值点.
(2)因f(x1)+f(x2)≤0,故得不等式
x13+x23-(1+a)(x12+x22)+a(x1+x2)≤0,
即(x1+x2)［(x1+x2)2-3x1x2］-(1+a)［(x1+x2)2-2x1x2］+a(x1+x2)≤0.
又由(1)知
.
代入前面不等式,两边除以(1+a),
并化简得2a2-5a+2≥0.
解不等式得a≥2或a≤
(舍去).
因此,当a≥2时,不等式f(x1)+f(x2)≤0成立.
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