Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，平面ABCD且，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，证明平面EFG∥平面BDS，再由题意证明AC⊥平面EFG，得出点P在△EFG的三条边上，求出△EFG的周长即可.

解：分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；

则EF∥BD，EF平面BDS，BD 平面BDS

∴EF∥平面BDS

同理FG∥平面BDS

又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，，

∴平面EFG∥平面BDS，

由AC⊥BD，AC⊥SO，且AC∩SO＝O，

则AC⊥平面BDS，

∴AC⊥平面EFG，

∴点P在△EFG的三条边上；

又EF＝BD＝××＝1，

FG＝EG＝SB＝×＝，

∴△EFG的周长为EF+2FG＝1+.

故选：D.