Question

f（x）是定义在[-2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，π]时，y=f（x）=cosx，当x∈（π，2π]时，f（x）的图象是斜率为

2

π

，在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分．
（1）求f（-2π），f（-

π

3

）；
（2）求f（x），并作出图象，写出其单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据题意求得x∈（π，2π]时函数的解析式，进而求得f（2π）的值，然后利用函数的奇偶性求得f（-2π）的值．利用函数f（x）在∈[0，π]时的解析式求得f（

π

3

）的值，然后利用函数的奇偶性求得f（-

π

3

）的值．
（2）根据（1）可知函数的解析式，进而利用直线方程和余弦函数的单调性判断出函数的单调区间．

解答：解：（1）当x∈（π，2π]时，y=f（x）=

2

π

x-2，
又f（x）是偶函数，
∴f（-2π）=f（2π）=2．
又x∈[0，π]时，y=f（x）=cosx，
∴f（-

π

3

）=f（

π

3

）=

1

2

．

（2）y=f（x）=

- 2 π x-2    x∈[-2π，-π)  cosx，x∈[-π，π] 2 π x-2      x∈(π，2π]

当x∈（π，2π]时，根据直线方程的单调性可知其为减函数；
当x∈[0，π]时，根据余弦函数的单调性可知为减函数；
当x∈[-π，0]时，根据余弦函数的单调性可知为增函数
当x∈[π，2π]时，函数的图象为直线，斜率大于0，可知为增函数．
故调区间为[-2π，-π），[0，π），[-π，0]，[π，2π]．

点评：本题主要考查了余弦函数的图象，函数的奇偶性的性质，函数的单调性和单调区间，以及分段函数的问题．注重了“双基”能力的考查．