Question

已知圆x²+y²=16与斜率为-

1

2

的直线相切，求这条切线方程和切点坐标．

Answer 1

分析：设出切线方程为y=-

1

2

x+b，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，根据d=r列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出切线方程，将切线方程与圆方程联立即可求出切点坐标．

解答：解：设切线方程为y=-

1

2

x+b，即x+2y-2b=0，
∵圆心到切线的距离d=r，即

|-2b|

5

=4，
解得：b=±2

5

，
∴切线方程为x+2y+4

5

=0或x+2y-4

5

=0，
联立切线与圆方程得：

x+2y+4 5 =0 x2+y2=16

或

x+2y-4 5 =0 x2+y2=16

，
解得：

x= 4 5 5 y= 8 5 5

或

x=- 4 5 5 y=- 12 5 5

，
则切点坐标为（

4 5

5

，

8 5

5

）或（-

4 5

5

，-

12 5

5

）．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．