Question

（2013•婺城区模拟）已知点P是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左支上一点，F₁，F₂是双曲线的左、右两个焦点，且PF₁⊥PF₂，PF₂与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF₂，则双曲线的离心率是（　　）

• A．

  5

• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：在三角形F₁F₂P中，点N恰好平分线段PF₂，点O恰好平分线段F₁F₂，根据三角形的中位线定理得出ON∥PF₁，从而得到∠PF₁F₂正切值，可设PF₂=bt．PF₁=at，再根据双曲线的定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a，进而根据勾股定理建立等式求得a和b的关系，则离心率可得．

解答：解：在三角形F₁F₂P中，点N恰好平分线段PF₂，点O恰好平分线段F₁F₂，
∴ON∥PF₁，又ON的斜率为

b

a

，
∴tan∠PF₁F₂=

b

a

，
在三角形F₁F₂P中，设PF₂=bt．PF₁=at，
根据双曲线的定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F₁F₂P中，|PF₂|²+|PF₁|²=4c²，∴b²t²+a²t²=4c²，②
由①②消去t，得(a2+b2)

4a2

(b-a)2

=4c2，
又c²=a²+b²，
∴a²=（b-a）²，即b=2a，
∴双曲线的离心率是

c

a

=

a2+b2

a

=

5

，
故选A．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握，属于基础题．