Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值；
（Ⅱ）2f（x）≥g（x）可化为2lnx+x+

3

x

≥a，令h（x）=2lnx+x+

3

x

，则问题等价于h（x）_max≥a，利用导数可求得x∈[

1

e

，e]时h（x）_max；

解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0得x=

1

e

，
当x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
①当0＜t＜t+2≤

1

e

时，t无解；
②当0＜t＜

1

e

＜t+2时，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
③当

1

e

≤t＜t+2时，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f（x）_min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（Ⅱ）x∈[

1

e

，e]时，
2f（x）≥g（x）即2xlnx≥-x²+ax-3，亦即2lnx≥-x+a-

3

x

，可化为2lnx+x+

3

x

≥a，
令h（x）=2lnx+x+

3

x

，则问题等价于h（x）_max≥a，
h′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
当x∈[

1

e

，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）递增；
又h（

1

e

）=2ln

1

e

+

1

e

+3e=3e+

1

e

-2，h（e）=2lne+e+

3

e

=e+

3

e

+2，
而h（e）-h（

1

e

）=-2e+

2

e

+4＜0，所以h（e）＜h（

1

e

），
故x∈[

1

e

，e]时，h（x）_max=h（

1

e

）=3e+

1

e

-2，
所以实数a的取值范围是：a≤3e+

1

e

-2．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、恒成立问题，考查转化思想，运算量较大，综合性较强．