Question

（本小题满分14分）
已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．

Answer 1

（1）   （2）1  （3）

试题分析：⑴因为，所以不等式即为，
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．
⑵当时,方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在内是单调增函数，
又，， ，
所以方程有且只有1个实数根， 在区间 ，
所以整数的值为 1．
⑶，
①  当时，，在上恒成立，当且仅当时
取等号，故符合要求；
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，
因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．
若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.
综上可知，的取值范围是．
点评：本题考查的知识是利用导数求闭区间上函数的最值，函数的单调性与导数的关系，熟练掌握导数法在求函数单调性，最值，极值的方法是解答的关键．