Question

如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶时的方向与OM所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解：设快艇从M处以v千米/时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇　　1分． 　　在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt　　2分 　　设∠MON＝α， 　　由题意，知sinα＝，则cosα＝　　4分 　　由余弦定理，知MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcosα， 　　即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×． 　　整理，得v2＝(500×－80)2＋3600　　7分 　　当＝，即t＝时，vmin2＝3600． 　　∴vmin＝60　　9分 　　即快艇至少须以60千米/时的速度行驶，此时MN＝60×＝15×25，MQ＝300． 　　设∠MNO＝β，则sinβ＝＝． 　　∴cosα＝sinβ． 　　∴α＋β＝90°，即MN与OM垂直　　12分