Question

已知函数f（x）=x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1）．试比较+++…+与1的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：由f′（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1），知a_n+1≥（a_n+1）²-1．由函数g（x）=（x+1）²-1=x²+2x在区间[1，+∞）上单调递增，于是由a_n≥1，得a₂≥（a₁+1）²-1≥2²-1，由此猜想：a_n≥2ⁿ-1．再用数学归纳法证明．
解答：解：∵f′（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1），
∴a_n+1≥（a_n+1）²-1．
∵函数g（x）=（x+1）²-1=x²+2x在区间[1，+∞）上单调递增，
于是由a_n≥1，得a₂≥（a₁+1）²-1≥2²-1，
由此猜想：a_n≥2ⁿ-1．
以下用数学归纳法证明这个猜想：
①当n=1时，1=a₁≥2¹-1=1，结论成立；
②假设n=k时结论成立，即a_k≥2^k-1，
则当n=k+1时，
由g（x）=（x+1）²-1在区间[1，+∞）上单调递增知，
a_k+1≥（a_k+1）²-1≥2^2k-1≥2^k+1-1，
即n=k+1时，结论也成立．
由①、②知，对任意n∈N^*，都有a_n≥2ⁿ-1．
即1+a_n≥2ⁿ，∴≤，
∴+++…+≤+++…+=1-（）ⁿ＜1．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．