Question

（本小题满分12分）如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.
(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面平面；
(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

Answer 1

(1) 证法一：取的中点，连.

∵为的中点，∴且.
∵平面，平面，
∴，∴.                  
又，∴.             
∴四边形为平行四边形，则.   
∵平面，平面，
∴平面.                         
证法二：取的中点，连.
∵为的中点，∴.                    
∵平面，平面，∴.           
又，
∴四边形为平行四边形，则.               
∵平面，平面，
∴平面，平面.
又，∴平面平面.            
∵平面，
∴平面.                    
(2) 证：∵为等边三角形，为的中点，∴.    
∵平面，平面，∴.          
又，故平面.                  
∵，∴平面.                      
∵平面，
∴平面平面.                 (3)
解：在平面内，过作于，连.
∵平面平面， ∴平面.
∴为和平面所成的角.                 
设，则，
，
R t△中，.
∴直线和平面所成角的正弦值为.               
方法二：设，建立如图所示的坐标系，

则.
∵为的中点，∴.             
(1) 证：，       
∵，平面，∴平面. 
(2) 证：∵，       
∴，∴.    
∴平面，又平面，
∴平面平面.                  
(3) 解：设平面的法向量为，由可得：
，取.     
又，设和平面所成的角为，则
.
∴直线和平面所成角的正弦值为.           

略