Question

若直线x+y=k与曲线y=

1-x2

恰有一个公共点，则k的取值范围是

-1≤k＜1或k=

2

．

Answer 1

分析：曲线y=

1-x2

表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（-1，0）时，直线y=-x+k与半圆只有一个交点；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=-x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线位于此两条直线之间时满足题意．当直线y=-x+k与半圆相切时只有一个公共点，也满足条件．

解答：解：曲线y=

1-x2

表示一个半圆，如图所示．
当直线过点A（-1，0）时，直线y=-x+k与半圆只有一个交点，此时k=-1；
当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=-x+k与半圆有两个交点，此时k=1；
当直线y=-x+k与半圆相切时只有一个公共点，k=

2

．
因此当-1≤k＜1时，或k=

2

，直线x+y=k与曲线y=

1-x2

恰有一个公共点．
故答案为-1≤k＜1，或k=

2

．

点评：本题考查了直线与圆的相交于相切的位置关系、数形结合思想方法等基础知识与基本方法，考查了推理能力和计算能力．