Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是CC₁、AA₁的中点．AA₁=2．
（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；
（2）求点F到平面ABC₁D₁的距离．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴的正方向建立空间坐标系，结合AA₁=2我们易求出异面直线AE与BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到异面直线AE与BF所成角的余弦值；
（2）结合正方体的几何特征，我们求出平面ABC₁D₁的法向量为

A1D

，代入点到平面距离公式d=|

BF • A1D

| A1D |

|，即可得到点F到平面ABC₁D₁的距离．

解答：解：（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴的正方向建立空间坐标系
∵AA₁=2，E、F分别是CC₁、AA₁的中点．
∴A（0，0，0），B（2，0，0），E（2，2，1），F（0，0，1）
∴

AE

=（2，2，1），

BF

=（-2，0，1）
∴异面直线AE与BF所成角θ有
cosθ=|

AE • BF

| AE |•| BF |

|=

5

5

即异面直线AE与BF所成角的余弦值为

5

5

（2）由正方体的几何特征易得

A1D

=（0，-1，1）是平面ABC₁D₁的法向量
则d=|

BF • A1D

| A1D |

|=

2

2

，
即点F到平面ABC₁D₁的距离为

2

2

点评：本题考查的知识点是点到平面的距离，异面直线及其所成的角，其中（1）的关键是建立空间直角坐标系，将异面直线夹角问题转化为向量夹角问题，（2）的关键是熟练掌握点到平面之间的距离公式d=|

BF • A1D

| A1D |

|．