Question

（本小题满分14分）已知函数，.
(Ⅰ)若，求函数的极值；
(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；
(Ⅲ)若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)的极小值为 (Ⅱ)在上递减，在上递增
(Ⅲ)

试题分析：(Ⅰ)，
∴在上递减，在上递增，
∴的极小值为.                                                    ……4分
(Ⅱ)， ∴，
①当时，，∴在上递增               
②当时，，
∴在上递减，在上递增.                                  ……8分
(Ⅲ)先解区间上存在一点，使得成立
在上有解当时，，
由(Ⅱ)知
①当时，在上递增，∴， ∴，   ……10分
②当时，在上递减，在上递增，
（ⅰ）当时， 在上递增 ∴，∴无解，
（ⅱ）当时， 在上递减，
∴ ， ∴；
（ⅲ）当时， 在上递减，在上递增，
∴，
令，则，
∴在递减， ∴，∴无解，
即无解                      
综上可得：存在一点，使得成立，实数的取值范围为：或.
所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为.        ……14分
点评：导数是研究函数性质的重要工具，研究函数的极值、最值及单调区间时常常用到导数，而求参数的取值范围时，常常需要转化为求最值然后利用导数解决.