题目内容
为了在夏季降温和冬天供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用10年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为2万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
(0≤x≤20)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与10年的能源消耗费用之和．求k的值及f（x）的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
| k | x+10 |
分析：（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
(0≤x≤20)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=80，进而得到 C(x)=
．建造费用为C1（x）=2x，则根据隔热层建造费用与10年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
| k |
| x+10 |
| 80 |
| x+10 |
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为 C（x）=
(0≤x≤20)．
再由C（0）=8，得k=80，
因此 C(x)=
．
而建造费用为C1（x）=2x，
最后得隔热层建造费用与10年的能源消耗费用之和为
f(x)=10C(x)+C1(x)=10×
+2x=
+2x(0≤x≤20)
（Ⅱ） f′(x)=2-
，令f′（x）=0，即
=2．
解得x=10，x=-30（舍去）．
当0＜x＜10时，f′（x）＜0，当10＜x＜20时，f′（x）＞0，故x=10是f（x）的最小值点，对应的最小值为60．
当隔热层修建10cm厚时，总费用达到最小值为60万元．
| k |
| x+10 |
再由C（0）=8，得k=80，
因此 C(x)=
| 80 |
| x+10 |
而建造费用为C1（x）=2x，
最后得隔热层建造费用与10年的能源消耗费用之和为
f(x)=10C(x)+C1(x)=10×
| 80 |
| x+10 |
| 800 |
| x+10 |
（Ⅱ） f′(x)=2-
| 800 |
| (x+10)2 |
| 800 |
| (x+10)2 |
解得x=10，x=-30（舍去）．
当0＜x＜10时，f′（x）＜0，当10＜x＜20时，f′（x）＞0，故x=10是f（x）的最小值点，对应的最小值为60．
当隔热层修建10cm厚时，总费用达到最小值为60万元．
点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
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，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.