Question

已知双曲线-=1的离心率e>1+,左、右焦点分别为F₁、F₂,左准线为l,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项?

Answer 1

解析:设在左支上存在P点,使|PF₁|²=|PF₂|·d.

由双曲线的第二定义,知?

= =e,即|PF₂|=e|PF₁|.①

再由双曲线的第一定义,得|PF₂|-|PF₁|=2a.②?

由①②解得|PF₁|=,|PF₂|=.?

在△PF₁F₂中,有|PF₁|+|PF₂|≥2c,

即+≥2c.③?

利用e=,由③式得e²-2e-1≤0.

解得1-2≤e≤1+2.

又由e>1,得11+2矛盾.

因此符合条件的点P不存在.