Question

10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数b满足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，则实数b的取值范围是$[{\frac{1}{2}，2}]$．

Answer 1

分析 函数f（x）是定义在R上的偶函数，实数b满足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，可得f（|log₂b|）≤f（1），利用f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，可得|log₂b|≤1，即可求出实数b的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，实数b满足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，
∴f（|log₂b|）≤f（1），
∵f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴|log₂b|≤1，
∴-1≤log₂b≤1，
∴b∈$[{\frac{1}{2}，2}]$，
故答案为$[{\frac{1}{2}，2}]$．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、单调性和运用，考查对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．