Question

已知函数f（x）=﹣x³+ax²+1（a∈R）．

（1）若函数y=f（x）在区间上递增，在区间[，+∞）上递减，求a的值；

（2）当x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈（，+∞），求θ的取值范围；

（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴﹣5x³+（2﹣m）x²+1（m∈R）的图象与函数y=f（x）的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解答：

解：由于函数f（x）=﹣x³+ax²+1（a∈R）．

则导函数f′（x）=﹣3x²+2ax

（1）由于函数y=f（x）在区间上递增，在区间[，+∞）上递减，

则得函数在x=处取得极值，即f′（）=0，

则﹣3ײ+2a×=0，解得a=1．

（2）由于tanθ=f′（x）=﹣3x²+2ax=﹣3（x﹣）2+，

∵a∈（，+∞），∴

①当∈（，1]，即a时，，f′（x）_min=f′（0）=0

即0≤tanθ≤

①当∈（1，+∞），即a∈（3，+∞），时，f′（x）_max=f'（1）=2a﹣3，f′（x）_min=f′（0）=0

即0≤tanθ≤2a﹣3

∵0≤θ≤π，∴当a时，θ∈[0，arctan]；

当a∈（3，+∞）时，θ的取值范围是[0，arctan（2a﹣3）]．

（3）在（1）的条件下，a=1，

要使函数f（x）与g（x）=x⁴﹣5x³+（2﹣m）x²+1的图象恰有三个交点，

等价于方程﹣x³+x²+1=x⁴﹣5x³+（2﹣m）x²+1，

即方程x²（x²﹣4x+1﹣m）=0恰有三个不同的实根．

∵x=0是一个根，

∴应使方程x²﹣4x+1﹣m=0有两个非零的不等实根，

由△=16﹣4（1﹣m）＞0，1﹣m≠0，解得m＞﹣3，m≠1

∴存在m∈（﹣3，1）∪（1，+∞），

使得函数f（x）与g（x）=x⁴﹣5x³+（2﹣m）x²+1的图象恰有三个交点．