定义:如果函数f(x)在[a.b]上存在x1.x2(a＜x1＜x2＜b).满足f′(x1)=f′(x2)=$\frac{f}{a-b}$.则称数x1.x2为[a.b]上的“对望数 .函数f(x)为[a.b]上的“对望函数 .给出下列四个命题:=x2+mx+n在任意区间[a.b]上都不可能是“对望函数 ,=$\frac{1}{3}$x3-x2+2是[0.2]上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），满足f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$，则称数x₁，x₂为[a，b]上的“对望数”，函数f（x）为[a，b]上的“对望函数”，给出下列四个命题：
（1）二次函数f（x）=x²+mx+n在任意区间[a，b]上都不可能是“对望函数”；
（2）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+2是[0，2]上的“对望函数”；
（3）函数f（x）=x+sinx是[$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]上的“对望函数”；
（4）f（x）为[a，b]上的“对望函数”，则f（x）在[a，b]上不单调
其中正确命题的序号为（1），（2），（4）（填上所有正确命题的序号）

分析根据函数的定义结合二次函数性质判断（1），根据函数的导数判断（2），根据三角函数的性质判断（3），根据定义判断（4）即可．

解答解：（1）设二次函数f（x）=x²+mx+n在区间[a，b]上是“对望函数”，
则f′（x₁）=f′（x₂）=2x₁+m=2x₂+m，∴x₁=x₂，与定义不符，
故二次函数f（x）=x²+mx+n在任意区间[a，b]上都不可能是“对望函数”，（1）正确；
（2）∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+2，
∴f′（x）=x²-2x，$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$=$\frac{f（0）-f（2）}{0-2}$=$\frac{2-（\frac{8}{3}-2）}{0-2}$=-$\frac{2}{3}$，
令x²-2x=-$\frac{2}{3}$，解得：x₁=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，
而0＜x₁＜x₂＜2，
故f（x）是[0，2]上的“对望函数”，（2）正确；
（3）∵函数f（x）=x+sinx，
∴f′（x）=1+cosx，$\frac{f（\frac{π}{6}）-f（\frac{11π}{6}）}{\frac{π}{6}-\frac{11π}{6}}$=$\frac{3}{5π}$-1，
令1+cosx=$\frac{3}{5π}$-1，∴cosx=$\frac{3}{5π}$-2＜-1，无解，
故f（x）=x+sinx不是[$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]上的“对望函数”，（3）错误；
（4）f（x）为[a，b]上的“对望函数”，则f′（x）=0在[a，b]上有两个不相等的实根，
则f（x）在[a，b]上不单调，（4）正确；
其中正确命题的序号为（1），（2），（4），
故答案为：（1），（2），（4）．