Question

【题目】如图,三棱柱中, ,,平面平面， 与相交于点.

（1）求证： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值是.

【解析】试题分析：（1）首先菱形的性质推出，然后利用面面垂直的性质推出平面，从而根据线面垂直的性质使问题得证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，然后分别求出相关点的坐标与向量，由此求得平面与平面法向量，从而利用空间夹角公式求解即可．

试题解析：（1）已知侧面是菱形， 是的中点，∵，∴．

∵平面平面，且平面，平面 平面 ，

∴平面， .

（2）如图，以为原点，以， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，由已知可得， ， ， ，

∴， ， ， ， ，

设平面的一个法向量是， ，

由， ,

得，可得

∵平面 平面， ，∴平面，

∴平面的一个法向量是,

∴，即二面角的余弦值是.