题目内容
已知A、B、C是△ABC的三个内角,且满足(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB,求证:A+B=120°
思路分析:由于A+B+C=180°,所以可将证明A+B=120°转化到证明C=60°上来.又已知条件为三角函数关系,因此应考虑向三角函数方向转化.在(0°,180°)上,余弦函数严格单调,所以可证明cosC=
,这就考虑余弦定理的推论cosC=
,因此应首先把已知条件中角的关系转化为边的关系.
证明:由(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB,可得
sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB,
又∵sinA=
,sinB=
,sinC=
,
∴
+
-
=
·
,
即a2+b2-c2=ab.
∴cosC=
=
=
.
又∵0°＜C＜180°,∴C=60°.
∴A+B=180°-C=120°.
练习册系列答案
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