Question

10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2（x-\frac{1}{2}）^{2}+1\\;x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{-2x+2\\;x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，求函数y=f[f（x）]-x的所有零点之和．

Answer 1

分析 利用函数的解析式，化简函数y=f[f（x）]-x的表达式，求出函数的零点，即可求解．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2（x-\frac{1}{2}）^{2}+1\\;x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{-2x+2\\;x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，
x∈[0，$\frac{1}{2}$）时，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1）．x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）时，f（x）∈（$\frac{1}{2}$，1]．x∈[$\frac{3}{4}$，1]时，f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]．

函数y=f[f（x）]-x=$\left\{\begin{array}{l}-2[-2{（x-\frac{1}{2}）}^{2}+1]+2-x&；x∈[0，\frac{1}{2}）\\-2（-2x+2）+2-x&；x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）\\-2{（-2x+2-\frac{1}{2}）}^{2}+1-x；x∈[\frac{3}{4}，1]&\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}4{x}^{2}-5x+1&；x∈[0，\frac{1}{2}）\\ 3x-2&；x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）\\-2{（-2x+\frac{3}{2}）}^{2}+1-x；x∈[\frac{3}{4}，1]&\end{array}\right.$，
函数y=f[f（x）]-x的所有零点，可得$4{x}^{2}-5x+1=0，x∈[0，\frac{1}{2}）$，解得x=$\frac{1}{4}$；
3x-2=0，x$∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$，解得x=$\frac{2}{3}$，
$-2{（-2x+\frac{3}{2}）}^{2}+1-x=0；x∈[\frac{3}{4}，1]$，解得x=$\frac{7}{8}$．
函数y=f[f（x）]-x的所有零点之和为：$\frac{43}{24}$．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．