Question

18．（1）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长为短轴长的2倍，且过点P（4，2），求此椭圆的方程；
（2）求与双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1有公共渐近线，且焦距为8的双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，设出椭圆的方程，代入点（4，2）解得b²，即可求此椭圆的方程；
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1有公共渐近线，可设为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{3}$=λ，即为$\frac{{x}^{2}}{5λ}$-$\frac{{y}^{2}}{3λ}$=1，分类讨论，利用焦距为8，即可求出双曲线的方程．

解答 解：（1）由已知a=2b，当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，代入点（4，2）解得b²=8，此时椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
当焦点在y轴上时，椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，代入点（4，2）解得b²=17，此时椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{17}$+$\frac{{y}^{2}}{68}$=1．…（6分）
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1有公共渐近线的双曲线可设为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{3}$=λ，即为$\frac{{x}^{2}}{5λ}$-$\frac{{y}^{2}}{3λ}$=1．
当焦点在x轴上时，λ＞0，2$\sqrt{5λ+3λ}$=8，λ=2，此时双曲线为$\frac{{x}^{2}}{10}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
当焦点在y轴上时，λ＜0，2$\sqrt{-5λ-3λ}$=8，λ=-2，此时双曲线为$\frac{{x}^{2}}{10}-\frac{{y}^{2}}{6}$=-1．…（12分）

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程与性质，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．