Question

已知数列{a}的前n项和为S_n，且S_n=n²+3n+2，n∈N^×
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）2b_n=b_n-1+a_n（n≥2，n∈N^×）确定的数列{b_n}能否为等差数列？若能，求b₁的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（I）先看当n=1时利用a₁=S₁，求得a₁．进而当n≥2时根据a_n=S_n-S_n-1求得a_n，最后综合可求得数列{a_n}的通项公式．
（II）把（I）中求得的代a_n入2b_n=b_n-1+a_n中求得数列的递推式，进而利用累乘法求得bn-2n=(b1-2)(

1

2

)n-1进而分别看b₁=2和b₁≠2求得b_n，进而可得结论．

解答：解：（I）n=1时，a₁=S₁=6，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+2
所以{a_n}的通项公式为an=

6 n=1 2n+2 n=2

（II）由（I）知当n≥2时，2b_n=b_n-1+2n+2，
整理得：bn-2n=

1

2

[bn-1-2(n-1)]
利用累乘法得：bn-2n=(b1-2)(

1

2

)n-1
若b₁=2，则b_n=2n，{b_n}为等差数列；
若b₁≠2，则bn=2n+(b1-2)(

1

2

)n-1，此时{b_n}不是等差数列
所以当b₁=2时，数列{b_n}为等差数列．

点评：本题主要考查了等差关系的确定．常涉及等差数列的通项公式和求和公式，考查了学生的基础知识的掌握．