题目内容

已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数列{yn}满足yn·a=2(a＞0且a≠1)，y4=17，y7=11．

(Ⅰ)试问：数列{yn}的前多少项的和最大?最大值是多少?

(Ⅱ)设bn=，Sn=b1+b2+b3+…+bn，求Sn；

(Ⅲ)试判断，是否存在正整数M，使当n＞M时，xn＞1恒成立，若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由．

解：(Ⅰ)设xn=x1qn-1(x1＞0且x1≠1,q＞0)

由yn==2logaxn

得yn+1-yn=2logaxn+1-2logaxn=2loga=2logaq(常数)

∴数列{yn}是等差数列 

由y4=17，y7=11得yn=25-2n

令        得≤n＜     ∵n∈N*， ∴n=12

∴数列{yn}前12项和最大

现Tn为数列{yn}的前n项和，则T12==144

(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=225-2n   ∴b1=223，

∴{bn}是以223为首项，以为公比的等比数列 ∴Sn= b1+b2+…+bn=[1-()n]

(Ⅲ)由yn=2logaxn得xn=

由(Ⅰ)知，当n＞12时yn＜0恒成立

1°当0＜a＜1且n＞12时，有xn=＞a°=1

2°当a＞1且n＞12时，有xn＜1

故当0＜a＜1时存在M=12使得当n＞M时，xn＞1恒成立

当a＞1时不存在M，使得当n＞M时，xn＞1恒成立.

练习册系列答案
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A．9B．10C．11D．12（yn=23-2n）

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