Question

甲乙两人进行围棋比赛行约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为P（P＞

1

2

），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

5

9

．若图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．
（Ⅰ）在图中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？
（Ⅱ）求P的值；
（Ⅲ）求比赛到第4局时停止的概率P₄，以及比赛到第6局时停止的概率p₆．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据规则，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，而这2个条件框是用来终止运算的，由此可得程序框图中的第一个条件框和第二个条件框应填的条件．
（Ⅱ）依题意可得 P²+（1-P）²=

5

9

，再由P＞

1

2

，求得P的值．
（Ⅲ）设每两局比赛为一轮，则一轮结束，比赛终止的概率为

5

9

，比赛没有终止的概率为

4

9

．故比赛到第4局时停止的概率P₄ =（1-

5

9

）×

5

9

，p₆=（1-

5

9

）×（1-

5

9

）×1，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）根据规则，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，
而这2个条件框是用来终止运算的，
故程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．
注意：答案不唯一．如：第一个条件框填M＞1，第二个条件框填n＞5，或者第一、第二条件互换，都可以．
（Ⅱ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
故有 P²+（1-P）²=

5

9

，解得 P=

2

3

，或 P=

1

3

．
再由P＞

1

2

，可得P=

2

3

．
（Ⅲ）设每两局比赛为一轮，则由题意可得，一轮结束时，比赛终止的概率为

5

9

，
若比赛到第4局时停止，说明第一轮比赛中甲乙二人各的一分，此时，
该轮比赛的结果对下一轮比赛是否停止没有影响．
故比赛到第4局时停止的概率P₄ =（1-

5

9

）×

5

9

=

20

81

，
比赛到第6局时停止的概率p₆=（1-

5

9

）×（1-

5

9

）×1=

16

81

．

点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．