Question

甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p＞

1

2

)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

5

9

．
（Ⅰ）若右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
注：“n=0”，即为“n←0”或为“n：=0”．

Answer 1

分析：（Ⅰ）从框图知，这是一个含有两个条件的框图，结合题目所给的条件，程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．
（Ⅱ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，又知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

5

9

．用P表示出第二局比赛结束的概率，使它等于

5

9

，解出结果．
（Ⅲ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

5

9

．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）从框图知，这是一个含有两个条件的框图，结合题目所给的条件
程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．
（Ⅱ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
∴有p2+(1-p)2=

5

9

．
解得p=

2

3

或p=

1

3

．
∵p＞

1

2

，
∴p=

2

3

．
（Ⅲ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

5

9

．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P(ξ=2)=

5

9

，
P(ξ=4)=(1-

5

9

)(

5

9

)=

20

81

，
P(ξ=6)=(1-

5

9

)(1-

5

9

)•1=

16

81

．
∴随机变量ξ的分布列为：

∴Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

点评：本题第一问答案不唯一，如：第一个条件框填M＞1，第二个条件框填n＞5，或者第一、第二条件互换．都可以．这是一个比较新颖的问题．