Question

已知f(x)=

2x-a

2x+1

（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数F（x）=f（x）+2^x-

4

2x+1

-1的零点；
（3）设g（x）=log₄

k+x

1-x

，若方程f^-1（x）=g（x）在x∈[

1

2

，

2

3

]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f（0）=0，解得a=1，注意验证；
（2）把（1）的结论代入可得函数，转化为方程的根可得答案；
（3）求函数的反函数可得log2

1+x

1-x

=log4

k+x

1-x

，由对数的运算性质可得k=

2x2+x+1

1-x

，用换元法令m=1-x，由关于m的函数的范围可得答案．

解答：解：（1）由奇函数的定义可得：f（-x）=-f（x），
取x=0即得f（0）=0，解得a=1，2分
经验证知当a=1时，f(x)=

2x-1

2x+1

，此时满足f（x）=-f（-x），
故当a=1时，f（x）在R上的奇函数，4分
（2）由（1）知：f(x)=

2x-1

2x+1

，故F（x）=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

       6分
由（2^x）²+2^x-6=0，可得2^x=2，8分
所以x=1，即F（x）的零点为x=1．                 10分
（3）由f^-1（x）=g（x）得log2

1+x

1-x

=log4

k+x

1-x

，11分
由对数函数的运算性质可得：k+x=

(1+x)2

1-x

      12分
显然当x∈[

1

2

，

2

3

]时k+x＞0，即k=

2x2+x+1

1-x

     13分
设m=1-x  ，由于x∈[

1

2

，

2

3

]    所以m∈[

1

3

，

1

2

]     14分
于是

2x2+x+1

1-x

=

2m2-5m+4

m

=2m+

4

m

-5∈[4，

23

3

]    15分
所以实数k的取值范围4≤k≤

23

3

    16分．

点评：本题考查函数的奇偶性和零点，涉及对数的运算，属中档题．