Question

【题目】已知二次函数的最小值是1，且.

（1）求函数的解析式；

（2）若，试求的最小值；

（3）若在区间上，的图像恒在的图像上方，试确定实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ； （3）

【解析】

（1）设出二次函数的解析式，根据对称轴为，，可以得到一个三元一次方程组，最后求出二次函数的解析式；

（2）根据对称轴和给定区间的位置关系进行分类讨论，然后根据二次函数的单调性，求出函数在时的最小值；

（3）根据题意，原问题等价于在上恒成立，构造新函数，利用新函数的单调性，可以求出实数的取值范围.

（1）设二次函数的解析式为：，因为，所以的对称轴为，所以有，

因此函数的解析式为；

（2）若，则在上单调递增，；

若，即，则在上单调递减；

；

若，即，则

综上 .

（3）由题意知，当时，，

即恒成立.

设，

因为当时，单调递减，所以，

因此有，得,即实数的取值范围是.