Question

(本小题满分14分) 如图3所示，四棱锥中，底面为正方形， 平面，，，，分别为、、的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

Answer 1

（1）证明略；
（2）

（1）证法1：∵平面，平面，∴．
又为正方形，∴．
∵，∴平面．……………………………………………3分
∵平面，∴．
∵，∴．…………………………………………………………6分
证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，，．………4分
∵，∴．………6分

（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，……………8分
设平面DFG的法向量为，
∵
令，得是平面的一个法向量．…………………………10分
设平面EFG的法向量为，
∵
令，得是平面的一个法向量．……………………………12分
∵．
设二面角的平面角为θ，则．
所以二面角的余弦值为．………………………………………14分
解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，W
则，，，，，
，，．………………………………8分
过作的垂线，垂足为，
∵三点共线，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．………………………………………………10分
再过作的垂线，垂足为，
∵三点共线，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．……………………………………………12分
∴．
∵与所成的角就是二面角的平面角，
所以二面角的余弦值为．………………………………………14分