Question

【题目】已知函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）是否存在实数，使得在上的最大值为，若存在，求满足条件的的个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1个

【解析】试题分析：（1）求导数可得，对a进行分类讨论得：①当时， 在上单调递增，②当或时， 在上单调递减，③当且时， 在上单调递增，在上单调递减。（2）结合（1）可得当时， ，故有，即，可判断方程只有1个实数解，所以存在满足条件的实数a，且只有1个。

试题解析：

（1）∵，

∴，

①当时， 在上单调递增。

②当，即或时， ，

∴在上单调递减。

③当且时，

由 得.

令得；令得.

∴在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时， 在上递增；

当或时， 在上递减；

当且时， 在上递增，在上递减.

（2）易知，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，

∴ 当时， 有极大值，也为最大值，且

由题意得 ，

即，

设，易知为增函数，且，

∴的唯一零点在上，

∴ 方程有唯一解，

∴ 存在实数满足条件，且实数的个数为1个.