Question

设数列{a_n}是等差数列，b_k=

a1+a2+…+ak

k

（k∈N₊）．
（1） 求证：数列{ b_n} 也是等差数列；
（2） 若a₁=-2，

a1+a2+…+a13

b1+b2+…+b13

=

3

2

，求数列{a_n}、{b_n} 的通项公式．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的首项a₁和公差d，写出等差数列的通项公式及前n项和的公式，把前n项和的公式代入
b_k=

a1+a2+…+ak

k

中，化简后得到b_n的通项公式，并求得b_n+1-b_n为常数，所以得到数列{ b_n} 也是等差数列；
（2）分别根据两数列的首项和公差，写出两数列的前n项和的通项公式，代入已知的条件

a1+a2+…+a13

b1+b2+…+b13

=

3

2

中，化简后把a₁=-2代入得到关于d的方程，求出方程的解即可得到d的值，然后根据首项-2和求出的d即可写出两数列的通项公式．

解答：解：（1）设a_n=a₁+（n-1）d，则bn=

na1+ n(n-1) 2 d

n

=(a1-

d

2

)+

nd

2

，
又bn+1-bn=

d

2

，
所以{b_n}是以a₁为首项，

d

2

为公差的等差数列；
（2）因为b_n=a₁+

n-1

2

d，且a₁=-2，
则

a1+a2+…+a13

b1+b2+…+b13

=

13(-4+12d) 2

13(-4+6d) 2

=

-2+6d

-2+3d

=

3

2

，即-4+12d=-6+9d，
解得d=-

2

3

，
∴an=-

2

3

n-

4

3

，bn=-

1

3

n-

5

3

．

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．