Question

9、已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x）；②对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），③f（x+2）的图象关于y轴对称，则f（4.5），f（6.5），f（7）的大小关系是

f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）

．

Answer 1

分析：对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），得到函数是一个周期函数T=4，对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），得到函数在[0，2]上是一个递增函数，根据f（x+2）的图象关于y轴对称，得到f（x）的图象关于x=2对称．

解答：解：∵对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），
∴函数是一个周期函数T=4，
∵对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂）
∴函数在[0，2]上是一个递增函数，
∵f（x+2）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象关于x=2对称，
f（4.5）=f（1.5）
f（6.5）=f（2.5）=f（2）
f（7）=f（3）=f（1）
∵函数在[0，2]上是一个递增函数，
∴f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
故答案为：f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）．

点评：本题考查函数的周期性和函数的单调性，是一个关于函数性质的综合题目，解题的关键是把几个函数的自变量通过变化，放到同一个单调区间上．